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这篇是“只讲怎么做”的版本。每一类题都给你固定流程，照着算就行。
目标：遇到题先分类，再按步骤做，不需要临场发挥。
0. 先用这张“总流程表”
拿到一道题，先看关键词，然后套流程：
- 看到“特征值/特征向量/对角化/正交对角化/二次型”
- 走第 3 部分。
- 看到“Ax=b/增广矩阵/秩/零空间/解的个数”
- 走第 4 部分。
- 看到“子空间/基/维数/线性相关/坐标变换”
- 走第 5 部分。
- 看到“矩阵乘法/转置/逆/正交矩阵/秩不等式/迹/行列式”
- 走第 2 部分。
- 看到“迭代法/Jacobi/Gauss-Seidel/收敛/插值/差分/泰勒”
- 走第 6 部分。
- 看到“旋转/平移/齐次坐标/变换矩阵”
- 走第 7 部分。
1. 你必须先会的 6 个基础动作
动作 A：2x2 行列式
\[\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc
\]
动作 B：2x2 逆矩阵（先判可逆）
若
\[A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\quad ad-bc\neq 0
\]
则
\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
\]
动作 C：矩阵乘法维度检查
- 只有当左矩阵列数 = 右矩阵行数，才能乘。
- 结果维度 = 左矩阵行数 x 右矩阵列数。
动作 D：高斯消元（行初等变换）
- 目标：化成阶梯形或行最简形。
- 常见操作：交换两行、某行乘非零常数、某行加到另一行。
动作 E：求秩
- 把矩阵消元到阶梯形。
- 非零行个数就是秩。
动作 F：判线性方程组解的情况
对 \(Ax=b\)：
- 算 \(r(A)\)。
- 算 \(r([A|b])\)。
- 比较：
- 若 \(r(A)\ne r([A|b])\)，无解。
- 若 \(r(A)=r([A|b])=n\)（未知数个数），唯一解。
- 若 \(r(A)=r([A|b])<n\)，无穷多解。
2. 矩阵基本运算题：机械流程
这类题数量最多，先做这 6 步：
- 看清维度能不能算（乘法最容易错）。
- 需要乘法就按“行乘列”。
- 需要逆矩阵先看行列式是否 0。
- 需要秩就先消元，再数非零行。
- 看到正交矩阵 \(Q\)，立刻用 \(Q^{-1}=Q^T\)。
- 看到迹，立刻用“对角线求和”；看到行列式，优先三角化后相乘。
2.1 正交矩阵题固定动作
若题目给 \(Q^TQ=I\)：
- 直接记 \(Q^{-1}=Q^T\)。
- 直接记列向量两两正交且长度为 1。
- 快速结论：\(\det(Q)=\pm1\)。
2.2 秩相关题固定动作
常见结论（会背就能秒选项）：
- \(r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}\)
- \(r(A)=r(A^T)\)
- 可逆矩阵 \(P,Q\) 不改变秩：\(r(PAQ)=r(A)\)
2.3 矩阵多项式题（如 \((A+I)(I-A+A^2-...)\)）
- 先把中间看成等比求和结构。
- 用恒等式先代数化简。
- 最后再代入 \(A\) 计算，不要上来就硬乘。
3. 特征值分解/对角化/二次型：机械流程
这是你最开始那道题的核心区。
3.1 正交对角化（实对称矩阵）五步法
给实对称矩阵 \(A\)：
- 求特征方程：\(|A-\lambda I|=0\)。
- 解出全部特征值。
- 每个特征值解 \((A-\lambda I)x=0\)，求特征向量。
- 同一重根下若向量不正交，做一次施密特正交化。
- 每个向量单位化，拼成正交矩阵 \(Q\)。
最后写：
\[Q^TAQ=\Lambda
\]
其中 \(\Lambda\) 是对角矩阵。
3.2 快速检查“能不能对角化”
- 先求特征值及其代数重数。
- 再求每个特征值的特征子空间维数（几何重数）。
- 所有特征值的几何重数之和 = 矩阵阶数，才可对角化。
3.3 二次型配方/标准形题
给
\[f(x)=x^TAx
\]
机械步骤：
- 先写出对称矩阵 \(A\)。
- 求特征值（或主子式/秩，按题目要求）。
- 若问秩：看非零特征值个数。
- 若问正负惯性指数：正特征值个数、负特征值个数。
- 若问标准形：通过正交变换写成平方和差平方和。
3.4 迹、行列式与特征值关系（常考秒杀）
- \(\operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i\)
- \(\det(A)=\prod \lambda_i\)
看到只给特征值的题，优先用这两条。
3.5 SVD（奇异值分解）题固定流程
- 先算 \(A^TA\)。
- 求 \(A^TA\) 的特征值 \(\mu_i\ge 0\)。
- 奇异值 \(\sigma_i=\sqrt{\mu_i}\)。
- 右奇异向量来自 \(A^TA\) 的单位特征向量，拼成 \(V\)。
- 左奇异向量用
\[u_i=\frac{1}{\sigma_i}Av_i
\]
拼成 \(U\)。
6. 写出
\[A=U\Sigma V^T
\]
4. 线性方程组题：机械流程
4.1 判断解的个数
直接用第 1 部分动作 F（秩比较三分法）。
4.2 解齐次方程组 \(Ax=0\)
- 消元到行最简。
- 找主变量和自由变量。
- 令自由变量参数化。
- 写成基础解系（向量组）。
4.3 解非齐次方程组 \(Ax=b\)
- 先求一组特解 \(x_p\)。
- 再求齐次解空间通解 \(x_h\)。
- 总解写成
\[x=x_p+x_h
\]
4.4 零空间维数题
对于 \(m\times n\) 矩阵：
\[\dim N(A)=n-r(A)
\]
先消元求秩，再套公式。
5. 向量空间/子空间/基与维数：机械流程
5.1 判一个集合是不是子空间
只做三件事：
- 看是否含零向量。
- 任取两向量相加是否还在集合内。
- 任取向量数乘后是否还在集合内。
三条都过才是子空间。
5.2 判线性相关/无关
- 设线性组合等于 0。
- 解系数方程。
- 只有零解则无关；有非零解则相关。
5.3 求一组向量张成空间的维数
- 把向量作为列（或行）组成矩阵。
- 消元。
- 秩就是维数。
5.4 基变换/坐标变换题
- 把“新基向量”在“旧基”下展开。
- 组成过渡矩阵 \(P\)。
- 坐标关系：
\[[x]_{old}=P[x]_{new},\quad [x]_{new}=P^{-1}[x]_{old}
\]
- 线性变换矩阵换基：
\[A_{new}=P^{-1}A_{old}P
\]
5.5 范数/点积/叉积题
- \(L_1\) 范数：各分量绝对值求和。
- \(L_2\) 范数：平方和开根号。
- 点积：对应分量乘积求和。
- 三维叉积：按行列式模板计算。
6. 数值方法题：机械流程（线代考试里也常混入）
6.1 Jacobi 迭代
给 \(Ax=b\)：
- 拆成 \(A=D+L+U\)。
- 迭代式写成
\[x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})
\]
- 用初值 \(x^{(0)}\) 反复代入。
6.2 Gauss-Seidel 迭代
\[x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b-Ux^{(k)})
\]
和 Jacobi 的区别：更新到的新分量立刻参与本轮后续计算。
6.3 收敛性快速判断（做题版）
- 优先看“严格对角占优”，通常可判收敛。
- 或看迭代矩阵谱半径是否小于 1：\(\rho(B)<1\)。
6.4 差分/导数近似误差阶
例如中心差分
\[f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
\]
常见误差阶记为 \(O(h^2)\)（按题目常识直接选）。
6.5 插值/样条/泰勒题
- 泰勒：写到题目要求阶数，剩余写高阶小量。
- 多项式插值：先识别拉格朗日还是牛顿型。
- 三次样条：记住“分段三次 + 一二阶导连续 + 边界条件”。
7. 变换矩阵/齐次坐标题：机械流程
7.1 二维/三维刚体变换顺序题
题目说“先旋转再平移”，就严格按这个顺序乘矩阵。
- 列向量习惯下：
\[p'=T_{trans}T_{rot}p
\]
（右边先作用）
7.2 齐次坐标模板
二维点 \((x,y)\) 写成 \([x,y,1]^T\)；
三维点 \((x,y,z)\) 写成 \([x,y,z,1]^T\)。
把旋转、平移都写成同阶方阵后再连乘。
7.3 90 度旋转常用矩阵（二维）
逆时针：
\[R_{90}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}
\]
顺时针：
\[R_{-90}=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}
\]
8. 选择题专用“秒杀清单”
- 正交矩阵：\(Q^{-1}=Q^T\)，\(\det(Q)=\pm1\)。
- 特征值全不同时，一定可对角化。
- 实对称矩阵一定可正交对角化。
- \(\operatorname{tr}(A)=\sum\lambda_i\)，\(\det(A)=\prod\lambda_i\)。
- \(r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\)。
- \(r(A)=r(A^T)\)。
- \(Ax=b\) 解的判定只看 \(r(A)\) 与 \(r([A|b])\)。
- 零空间维数 \(=n-r(A)\)。
- SVD 的奇异值是 \(A^TA\) 特征值开根号。
- 迭代法常见充分条件：系数矩阵严格对角占优。
9. 你做题时的固定模板（直接抄到草稿纸）
模板 1：特征值/对角化
- \(|A-\lambda I|=0\)
- 解全部 \(\lambda\)
- 对每个 \(\lambda\) 解 \((A-\lambda I)x=0\)
- 凑够 n 个线性无关特征向量
- 单位化/正交化
- 写 \(Q^{-1}AQ=\Lambda\) 或 \(Q^TAQ=\Lambda\)
模板 2：方程组
- 写增广矩阵 \([A|b]\)
- 消元
- 算 \(r(A),r([A|b])\)
- 判定无解/唯一解/无穷多解
- 需要通解就参数化
模板 3：子空间与维数
- 先判三条封闭性（是否子空间）
- 组矩阵消元
- 用秩给维数
- 写一组基
模板 4：迭代法
- 写出迭代格式（Jacobi 或 GS）
- 代入初值做 1~2 轮
- 用对角占优/谱半径判断收敛
10. 最后提醒
- 你现在不用追求“为什么”，先把流程跑通。
- 每类题先识别关键词，再走固定模板。
- 先把正确率做上去，再回头补理论。
只要你每道题都按这篇的步骤走，线代选择题会越来越机械、越来越稳。